Contoh Soal Dan Pembahasan Distribusi Binomial
Sisimanfaat – Pengertian distribusi binomial adalah suatu model probabilitas yang digunakan untuk menghitung kemungkinan kejadian dalam beberapa percobaan independen yang sama dengan jumlah tetap percobaan. Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas kejadian yang bersifat biner, yaitu kejadian yang hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu sukses atau gagal.
Contoh soal distribusi binomial sering ditemukan dalam berbagai bidang seperti statistik, ekonomi, sains, dan bisnis. Pada artikel ini, akan dibahas contoh soal dan pembahasan distribusi binomial beserta langkah-langkah penyelesaiannya.
Contoh Soal Distribusi Binomial
- Sebuah perusahaan mengirimkan 10 pesanan barang. Probabilitas barang yang dikirim sesuai dengan pesanan adalah 0,9. Hitunglah probabilitas bahwa setidaknya 8 barang yang dikirim sesuai dengan pesanan.
- Seorang pemain sepak bola melakukan tendangan penalti sebanyak 6 kali pada pertandingan. Probabilitas pemain tersebut berhasil mencetak gol pada setiap tendangan adalah 0,8. Hitunglah probabilitas bahwa pemain tersebut berhasil mencetak gol minimal 4 kali pada pertandingan tersebut.
- Sebuah toko roti menjual roti isi coklat. Dalam satu setiap tiga roti, terdapat satu roti yang tidak memiliki isi coklat. Jika seseorang membeli 6 roti isi coklat secara acak, hitunglah probabilitas bahwa terdapat minimal 2 roti yang tidak memiliki isi coklat.
Pembahasan Soal Distribusi Binomial
- Probabilitas barang yang dikirim sesuai dengan pesanan adalah 0,9. Probabilitas barang yang tidak sesuai dengan pesanan adalah 0,1. Jumlah percobaan n = 10. Kita ingin menghitung probabilitas setidaknya 8 barang yang dikirim sesuai dengan pesanan.
Untuk menghitung probabilitas setidaknya 8 barang yang dikirim sesuai dengan pesanan, kita dapat menggunakan rumus distribusi binomial kumulatif sebagai berikut:
P(X ≥ 8) = 1 – P(X < 8)
= 1 – P(X ≤ 7)
= 1 – ∑_(k=0)^7〖(10Ck)×(0,9)^k×(0,1)^(10-k) 〗
Dalam rumus di atas, ∑_(k=0)^7〖(10Ck)×(0,9)^k×(0,1)^(10-k) 〗 dapat dihitung menggunakan tabel distribusi binomial atau dengan menggunakan kalkulator atau spreadsheet. Dalam hal ini, kita akan menggunakan tabel distribusi binomial.
Dalam tabel distribusi binomial, kita dapat mencari nilai probabilitas P(X ≤ 7) dengan mengambil nilai n = 10 dan p = 0,9. Dari tabel tersebut, diperoleh:
P(X ≤ 7) = 0,057395
Maka, P(X ≥ 8) = 1 – 0,057395 = 0,942605
Jadi, probabilitas setidaknya 8 barang yang dikirim sesuai dengan pesanan adalah 0,942605 atau sekitar 94,26%.
- Probabilitas pemain sepak bola berhasil mencetak gol pada setiap tendangan adalah 0,8. Jumlah percobaan n = 6. Kita ingin menghitung probabilitas pemain tersebut berhasil mencetak gol minimal 4 kali pada pertandingan tersebut.
Untuk menghitung probabilitas pemain tersebut berhasil mencetak gol minimal 4 kali, kita dapat menggunakan rumus distribusi binomial kumulatif sebagai berikut:
P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4)
= 1 – P(X ≤ 3)
= 1 – ∑_(k=0)^3〖(6Ck)×(0,8)^k×(0,2)^(6-k) 〗
Dalam rumus di atas, ∑_(k=0)^3〖(6Ck)×(0,8)^k×(0,2)^(6-k) 〗 dapat dihitung menggunakan tabel distribusi binomial atau dengan menggunakan kalkulator atau spreadsheet. Dalam hal ini, kita akan menggunakan tabel distribusi binomial.
Dalam tabel distribusi binomial, kita dapat mencari nilai probabilitas P(X ≤ 3) dengan mengambil nilai n = 6 dan p = 0,8. Dari tabel tersebut, diperoleh:
P(X ≤ 3) = 0,0064
Maka, P(X ≥ 4) = 1 – 0,0064 = 0,9936
Jadi, probabilitas pemain tersebut berhasil mencetak gol minimal 4 kali pada pertandingan tersebut adalah 0,9936 atau sekitar 99,36%.
- Dalam satu setiap tiga roti, terdapat satu roti yang tidak memiliki isi coklat. Probabilitas roti yang memiliki isi coklat adalah 2/3 atau 0,67. Probabilitas roti yang tidak memiliki isi coklat adalah 1/3 atau 0,33. Jumlah percobaan n = 6. Kita ingin menghitung probabilitas terdapat minimal 2 roti yang tidak memiliki isi coklat.
Untuk menghitung probabilitas terdapat minimal 2 roti yang tidak memiliki isi coklat, kita dapat menggunakan rumus distribusi binomial kumulatif sebagai berikut:
P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2)
= 1 – P(X ≤ 1)
= 1 – [(6C0)×(0,33)^0×(0,67)^6 + (6C1)×(0,33)^1×(0,67)^5]
Dalam rumus di atas, (6C0)×(0,33)^0×(0,67)^6 + (6C1)×(0,33)^1×(0,67)^5 dapat dihitung menggunakan kalkulator atau spreadsheet.
(6C0)×(0,33)^0×(0,67)^6 = 0,028062
(6C1)×(0,33)^1×(0,67)^5 = 0,161220
Maka, P(X ≥ 2) = 1 – (0,028062 + 0,161220) = 0,810718
Jadi, probabilitas terdapat minimal 2 roti yang tidak memiliki isi coklat adalah 0,810718 atau sekitar 81,07%.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal dan pembahasan distribusi binomial. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk menghitung probabilitas kejadian sukses dalam sejumlah percobaan dengan probabilitas keberhasilan yang sama untuk setiap percobaan.
Untuk menghitung probabilitas menggunakan distribusi binomial, kita perlu mengetahui jumlah percobaan (n), probabilitas keberhasilan (p), dan jumlah keberhasilan yang ingin dicapai (k). Kita juga dapat menggunakan rumus distribusi binomial kumulatif untuk menghitung probabilitas minimal atau maksimal keberhasilan yang ingin dicapai.
Dalam contoh soal yang telah dibahas di atas, kita dapat melihat bahwa distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam berbagai situasi, seperti penjualan produk, pencetakan koin, dan pencetakan roti. Dalam setiap situasi, kita dapat menghitung probabilitas keberhasilan dengan memasukkan nilai n, p, dan k yang sesuai ke dalam rumus distribusi binomial.
Dalam penggunaannya, distribusi binomial dapat membantu kita membuat keputusan yang lebih baik dalam berbagai situasi, seperti dalam bisnis atau riset. Misalnya, dengan menghitung probabilitas keberhasilan penjualan produk, kita dapat menentukan strategi yang lebih efektif untuk meningkatkan penjualan. Atau dengan menghitung probabilitas keberhasilan dalam riset, kita dapat menentukan sampel yang tepat untuk memperoleh hasil yang akurat.
Namun, perlu diingat bahwa distribusi binomial hanya dapat digunakan dalam situasi di mana probabilitas keberhasilan setiap percobaan adalah sama dan tidak berubah-ubah. Jika probabilitas keberhasilan setiap percobaan berubah-ubah, kita harus menggunakan distribusi probabilitas lain, seperti distribusi Poisson atau distribusi normal.
Dalam kesimpulan, distribusi binomial adalah alat yang berguna untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam berbagai situasi. Dengan memahami konsep distribusi binomial dan cara menghitung probabilitas menggunakan rumus distribusi binomial kumulatif, kita dapat membuat keputusan yang lebih baik dalam berbagai situasi bisnis atau riset.
Baca juga Contoh Soal Z Score Dan Pembahasan