Contoh Soal Dan Pembahasan Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan polinomial, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Bentuk umum fungsi rasional adalah:
f(x) = P(x)/Q(x)
Di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial, dan Q(x) tidak sama dengan nol. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan tentang fungsi rasional.
Contoh Soal 1: Tentukan domain dari fungsi rasional f(x) = (x² + 2x + 1)/(x – 1)
Pembahasan:
Untuk menentukan domain dari fungsi rasional, kita perlu mencari nilai x yang tidak dapat kita gunakan untuk fungsi tersebut. Dalam hal ini, nilai x yang tidak dapat kita gunakan adalah ketika penyebut Q(x) sama dengan nol. Oleh karena itu, kita perlu mencari akar dari polinomial penyebut.
x – 1 = 0
x = 1
Maka, kita tidak dapat menggunakan nilai x = 1 untuk fungsi rasional f(x) = (x² + 2x + 1)/(x – 1). Oleh karena itu, domain dari fungsi rasional ini adalah semua bilangan real kecuali x = 1.
Contoh Soal 2: Tentukan nilai f(3) dari fungsi rasional f(x) = (x – 3)/(x² – 5x + 6)
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai f(3) dari fungsi rasional, kita perlu mengganti x dengan 3 pada fungsi tersebut. Maka, kita dapat tuliskan:
f(3) = (3 – 3)/((3)² – 5(3) + 6)
f(3) = 0/(9 – 15 + 6)
f(3) = 0/0
Dalam hal ini, nilai f(3) tidak terdefinisi karena kita tidak dapat membagi nol dengan nol. Oleh karena itu, fungsi rasional f(x) = (x – 3)/(x² – 5x + 6) tidak terdefinisi pada x = 3.
Contoh Soal 3: Tentukan asimtot vertikal dari fungsi rasional f(x) = (x² – 9)/(x – 3)
Pembahasan:
Asimtot vertikal adalah garis vertikal di mana fungsi rasional tidak terdefinisi. Dalam hal ini, asimtot vertikal terjadi ketika penyebut Q(x) sama dengan nol. Oleh karena itu, kita perlu mencari akar dari polinomial penyebut.
x – 3 = 0
x = 3
Maka, asimtot vertikal dari fungsi rasional f(x) = (x² – 9)/(x – 3) terjadi pada x = 3.
Contoh Soal 4: Tentukan titik potong sumbu y dari fungsi rasional f(x) = (2x – 1)/(x + 1)
Pembahasan:
Titik potong sumbu y adalah titik di mana garis fungsi bersilangan dengan sumbu y. Dalam hal ini, kita dapat menentukan titik potong sumbu y dengan mengganti x dengan nol pada fungsi rasional tersebut. Maka, kita dapat tuliskan:
f(
- = (2(0) – 1)/(0 + 1)
f(0) = -1/1
f(0) = -1
Maka, titik potong sumbu y dari fungsi rasional f(x) = (2x – 1)/(x + 1) adalah (0, -1).
Contoh Soal 5: Tentukan asimtot miring dari fungsi rasional f(x) = (2x² + 3x + 1)/(x + 1)
Pembahasan:
Asimtot miring terjadi ketika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut. Dalam hal ini, derajat pembilang adalah 2 dan derajat penyebut adalah 1. Oleh karena itu, kita perlu membagi polinomial pembilang dengan polinomial penyebut untuk mendapatkan bentuk asimtot miring.
2x² + 3x + 1
x + 1
Kita dapat menggunakan pembagian polinomial untuk mendapatkan bentuk asimtot miring:
markdown
Copy code
2x + 1
x + 1 | 2x² + 3x + 1
2x² + 2x
________
x + 1
(x + 1)
_______
0
Maka, bentuk asimtot miring dari fungsi rasional f(x) = (2x² + 3x + 1)/(x + 1) adalah y = 2x + 1.
Contoh Soal 6: Tentukan titik maksimum atau minimum dari fungsi rasional f(x) = (x² – 4x + 3)/(x – 2)
Pembahasan:
Untuk menentukan titik maksimum atau minimum dari fungsi rasional, kita perlu mencari titik stasioner dengan menghitung turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut, lalu mencari nilai x yang membuat turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua negatif untuk menunjukkan bahwa titik stasioner adalah titik maksimum.
Pertama, kita hitung turunan pertama dari fungsi rasional tersebut:
f(x) = (x² – 4x + 3)/(x – 2)
f'(x) = [(2x – 4)(x – 2) – (x² – 4x + 3)]/(x – 2)²
f'(x) = (-x² + 6x – 5)/(x – 2)²
Kita perlu mencari nilai x yang membuat turunan pertama sama dengan nol:
-x² + 6x – 5 = 0
x² – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x = 1 atau x = 5
Kita perlu memeriksa nilai turunan kedua pada kedua nilai x tersebut untuk menentukan titik maksimum atau minimum.
Untuk x = 1:
f”(1) = [-2(1) + 6]/(1 – 2)²
f”(1) = 4
Karena f”(1) positif, maka titik stasioner pada x = 1 bukan titik maksimum atau minimum.
Untuk x = 5:
f”(5) = [-2(5) + 6]/(5 – 2
f”(5) = -4/9
Karena f”(5) negatif, maka titik stasioner pada x = 5 adalah titik maksimum.
Untuk menentukan nilai y dari titik maksimum tersebut, kita perlu menghitung nilai f(5):
f(5) = (5² – 4(5) + 3)/(5 – 2)
f(5) = 4/3
Maka, titik maksimum dari fungsi rasional f(x) = (x² – 4x + 3)/(x – 2) adalah (5, 4/3).
Contoh Soal 7: Tentukan daerah asal fungsi rasional f(x) = (x – 1)/(x² – 3x + 2)
Pembahasan:
Untuk menentukan daerah asal fungsi rasional, kita perlu mencari nilai x yang membuat penyebut sama dengan nol dan menghasilkan pembagian dengan nol pada penyebut.
x² – 3x + 2 = 0
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Karena pembagian dengan nol pada penyebut menghasilkan tak hingga, maka daerah asal fungsi rasional f(x) = (x – 1)/(x² – 3x + 2) adalah (-∞, 1) U (1, 2) U (2, ∞).
Contoh Soal 8: Tentukan limit fungsi rasional f(x) = (2x² + x – 1)/(x² + 2x – 3) saat x mendekati tak hingga.
Pembahasan:
Untuk menentukan limit fungsi rasional saat x mendekati tak hingga, kita perlu mempertimbangkan koefisien tertinggi dari pembilang dan penyebut, yaitu 2x² dan x², dan membagi setiap suku pada fungsi dengan koefisien tertinggi tersebut untuk mendapatkan bentuk asimtot.
2x² + x – 1
x² + 2x – 3
Kita dapat membagi setiap suku pada fungsi dengan 2x²:
2x²(1 + 1/(2x) – 1/(2x²))
x²(1 + 2/x – 3/x²)
Ketika x mendekati tak hingga, suku 1/(2x) dan 1/(2x²) mendekati nol, sehingga bentuk asimtot dari fungsi rasional tersebut adalah:
2x²(1 + 0 – 0)
x²(1 + 0 – 0)
2
lim f(x) = lim ____
x→∞ x²
Karena koefisien tertinggi pembilang dan penyebut sama-sama adalah x², maka limit tersebut dapat disederhanakan menjadi:
lim f(x) = 2/1
lim f(x) = 2
Maka, limit fungsi rasional f(x) = (2x² + x – 1)/(x² + 2x – 3) saat x mendekati tak hingga adalah 2.
Kesimpulan
Fungsi rasional merupakan salah satu jenis fungsi matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika,
Baca juga Contoh Soal Dan Pembahasan Induksi Elektromagnetik