Contoh Soal Dan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran merupakan garis yang menyentuh kedua lingkaran pada satu titik yang sama. Garis ini memiliki banyak aplikasi dalam matematika, terutama dalam geometri dan trigonometri. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal dan pembahasan mengenai garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
Contoh Soal:
Diberikan dua lingkaran dengan persamaan (x-3)² + y² = 4 dan (x+1)² + y² = 9. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan kedua lingkaran!
Pembahasan:
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menentukan titik potong kedua lingkaran. Titik potong kedua lingkaran dapat ditemukan dengan menghilangkan y dari kedua persamaan dan menyelesaikan persamaan untuk x.
(x-3)² + y² = 4
x² – 6x + 9 + y² = 4
x² – 6x + 5 = 0
(x+1)² + y² = 9
x² + 2x + 1 + y² = 9
x² + 2x – 8 = 0
Dari kedua persamaan di atas, kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menemukan x.
x² – 6x + 5 = 0
(x-5)(x-1) = 0
x = 5 atau x = 1
x² + 2x – 8 = 0
(x+4)(x-2) = 0
x = -4 atau x = 2
Dari sini, kita dapat mengetahui bahwa terdapat dua titik potong antara kedua lingkaran, yaitu (1, √3) dan (5, -√3).
Langkah selanjutnya adalah menentukan gradien garis singgung pada kedua titik potong. Gradien garis singgung adalah kemiringan garis pada titik potong dan dapat ditentukan dengan cara menghitung turunan fungsi lingkaran pada titik potong.
Untuk lingkaran pertama dengan persamaan (x-3)² + y² = 4, turunan fungsinya adalah:
d/dx [(x-3)² + y² = 4]
2(x-3) + 2y(dy/dx) = 0
dy/dx = -(x-3)/y
Pada titik potong (1, √3), gradien garis singgung dapat dihitung dengan cara memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan di atas:
dy/dx = -(1-3)/√3 = 1/√3
Untuk lingkaran kedua dengan persamaan (x+1)² + y² = 9, turunan fungsinya adalah:
d/dx [(x+1)² + y² = 9]
2(x+1) + 2y(dy/dx) = 0
dy/dx = -(x+1)/y
Pada titik potong (1, √3), gradien garis singgung dapat dihitung dengan cara memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan di atas:
dy/dx =-(1+1)/√3 = -2/√3
Kita dapat menggunakan gradien garis singgung dan titik potong untuk menentukan persamaan garis singgung pada kedua titik potong. Persamaan garis adalah y = mx + c, di mana m adalah gradien garis dan c adalah konstanta.
Untuk titik potong (1, √3), persamaan garis singgung adalah:
y = (1/√3)x + c
Kita dapat menentukan nilai c dengan memasukkan koordinat titik potong ke dalam persamaan di atas:
√3 = (1/√3)(1) + c
c = 2√3/3
Sehingga persamaan garis singgung pada titik potong (1, √3) adalah:
y = (1/√3)x + 2√3/3
Untuk titik potong (5, -√3), persamaan garis singgung adalah:
y = (-2/√3)x + c
Kita dapat menentukan nilai c dengan memasukkan koordinat titik potong ke dalam persamaan di atas:
-√3 = (-2/√3)(5) + c
c = 5√3/3
Sehingga persamaan garis singgung pada titik potong (5, -√3) adalah:
y = (-2/√3)x + 5√3/3
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan pada kedua lingkaran adalah:
y = (1/√3)x + 2√3/3 atau y = (-2/√3)x + 5√3/3.
Kesimpulan:
Dalam contoh soal ini, kita telah membahas bagaimana menentukan persamaan garis singgung persekutuan pada dua lingkaran dengan cara menemukan titik potong kedua lingkaran dan menghitung gradien garis singgung pada kedua titik potong. Persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan menggunakan gradien garis singgung dan koordinat titik potong. Oleh karena itu, pemahaman tentang konsep garis singgung persekutuan pada dua lingkaran sangat penting dalam studi geometri dan trigonometri.