Sisimanfaat – Pencacahan adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang penting untuk dipahami. Aturan pencacahan atau permutasi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menghitung jumlah cara atau urutan yang mungkin dari suatu rangkaian objek atau kejadian.
Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal dan pembahasan aturan pencacahan, serta bagaimana aturan ini dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Pengertian Aturan Pencacahan
Aturan pencacahan atau permutasi adalah metode penghitungan jumlah cara atau urutan yang mungkin dari suatu rangkaian objek atau kejadian. Aturan ini digunakan untuk menghitung jumlah permutasi yang mungkin dari n objek yang diambil r objek pada saat yang bersamaan.
Dalam aturan pencacahan, setiap objek hanya dapat digunakan sekali, sehingga tidak akan ada permutasi yang sama. Aturan pencacahan dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
nPr = n! / (n-r)!
Di mana nPr adalah jumlah permutasi dari n objek yang diambil r objek pada saat yang bersamaan, dan n! adalah faktorial dari n, yaitu hasil kali dari semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n.
Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Pencacahan
- Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata “PENSIUN” jika setiap kata harus memiliki panjang 3 huruf?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan pencacahan dengan menghitung jumlah permutasi dari 7 huruf yang diambil 3 huruf pada saat yang bersamaan.
n = 7 dan r = 3
nPr = n! / (n-r)!
nPr = 7! / (7-3)!
nPr = 7! / 4!
nPr = 5040 / 24
nPr = 210
Jadi, terdapat 210 kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata “PENSIUN” jika setiap kata harus memiliki panjang 3 huruf.
- Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengatur 5 buku pada rak buku jika 2 buku harus ditempatkan di ujung kiri dan kanan rak?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan pencacahan dengan menghitung jumlah permutasi dari 3 buku yang diambil dari 5 buku pada saat yang bersamaan.
n = 5 dan r = 3
nPr = n! / (n-r)!
nPr = 5! / (5-3)!
nPr = 5! / 2!
nPr = 120 / 2
nPr = 60
Namun, karena 2 buku harus ditempatkan di ujung kiri dan kanan rak, maka kedua buku tersebut sudah tetap dalam posisi yang sama. Oleh karena itu, jumlah permutasi yang mungkin sebenarnya hanya dari 3 buku yang tersisa, yaitu 3! atau 6.
Jumlah cara yang mungkin untuk mengatur 5 buku pada rak buku jika 2 buku harus ditempatkan di ujung kiri dan kanan rak adalah 6.
- Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih dan mengurutkan 3 siswa dari 10 siswa dalam kelas?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan pencacahan dengan menghitung jumlah permutasi dari 10 siswa yang diambil 3 siswa pada saat yang bersamaan.
n = 10 dan r = 3
nPr = n! / (n-r)!
nPr = 10! / (10-3)!
nPr = 10! / 7!
nPr = 720
Jadi, terdapat 720 cara yang mungkin untuk memilih dan mengurutkan 3 siswa dari 10 siswa dalam kelas.
- Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengambil 2 bola merah dan 1 bola hijau dari 5 bola merah dan 3 bola hijau?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan pencacahan dengan menghitung jumlah permutasi dari 5 bola merah dan 3 bola hijau yang diambil 2 bola merah dan 1 bola hijau pada saat yang bersamaan.
n = 8 dan r = 3
nPr = n! / (n-r)!
nPr = 8! / (8-3)!
nPr = 8! / 5!
nPr = 336
Namun, permutasi ini menganggap semua bola merah dan hijau sebagai bola yang sama. Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan jumlah permutasi yang mungkin dari bola merah dan hijau. Jumlah permutasi dari 2 bola merah dan 1 bola hijau adalah:
2! x 1! = 2
Jadi, jumlah cara yang mungkin untuk mengambil 2 bola merah dan 1 bola hijau dari 5 bola merah dan 3 bola hijau adalah 336 x 2, atau 672.
- Sebuah toko buku memiliki 5 buku tentang sejarah, 3 buku tentang matematika, dan 2 buku tentang fisika. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih dan mengurutkan 3 buku dari toko buku tersebut?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan pencacahan dengan menghitung jumlah permutasi dari 10 buku yang diambil 3 buku pada saat yang bersamaan.
n = 10 dan r = 3
nPr = n! / (n-r)!
nPr = 10! / (10-3)!
nPr = 10! / 7!
nPr = 720
Namun, permutasi ini menganggap semua buku sebagai buku yang sama. Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan jumlah permutasi yang mungkin dari buku-buku dalam kategori yang sama. Jumlah permutasi dari buku-buku tentang sejarah, matematika, dan fisika masing-masing adalah:
5! x 3! x 2! = 720
Jadi, jumlah cara yang mungkin untuk memilih dan mengurutkan 3 buku dari toko buku tersebut adalah 720 x 720, atau 518,400.
Aturan Pencacahan dalam Kehidupan Sehari-Hari
Aturan pencacahan dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam masalah penghitungan yang melibatkan urutan atau pemilihan. Contoh-contoh berikut dapat memberikan gambaran bagaimana aturan pencacahan dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari:
- Pemilihan pakaian: Saat memilih pakaian untuk dipakai, seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi yang mungkin dari pakaian yang dimiliki. Misalnya, jika seseorang memiliki 3 kemeja, 2 celana panjang, dan 2 celana pendek, maka seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kombinasi yang mungkin untuk dipakai: 3 x 2 x 2 = 12.
- Pemilihan menu makanan: Saat memilih menu makanan di restoran, seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi menu yang dapat dipesan. Misalnya, jika restoran memiliki 4 hidangan utama, 3 jenis minuman, dan 2 jenis hidangan penutup, maka seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kombinasi yang mungkin: 4 x 3 x 2 = 24.
- Pemilihan jadwal pertemuan: Saat membuat jadwal pertemuan, seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan waktu yang dapat dipilih. Misalnya, jika seseorang dapat memilih waktu untuk pertemuan pada 3 hari dalam seminggu dan ada 4 slot waktu yang tersedia setiap harinya, maka seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan waktu yang mungkin: 3 x 4 = 12.
- Pemilihan nomor undian: Saat memilih nomor undian dalam undian atau lotere, seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi nomor yang mungkin. Misalnya, jika seseorang dapat memilih 6 nomor dari 1 hingga 50, maka seseorang dapat menggunakan aturan pencacahan untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi nomor yang mungkin: 50P6 = 15,890,700.
Kesimpulan
Aturan pencacahan adalah salah satu teknik dasar dalam matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi dalam masalah penghitungan yang melibatkan urutan atau pemilihan. Dalam artikel ini, telah diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan aturan pencacahan yang dapat membantu memahami konsep ini dengan lebih baik. Selain itu, juga telah dijelaskan bagaimana aturan pencacahan dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari untuk menghitung jumlah kemungkinan kombinasi dalam berbagai situasi.
Baca juga Contoh Soal Dan Pembahasan Anuitas
